场的量子化

根据北京大学shindou开设的《量子统计物理》第一章部分内容整理。

为方便起见，考虑二维膜的小振动，即$\phi(\vec x)=z(x,y)$。拉氏量为

$$L(\phi,\dot\phi)=\frac12\int\mathrm{d}^2\vec x\dot\phi(\vec x)^2-\frac12\int\mathrm{d}^2\vec x\mathrm{d}^2\vec x'K(\vec x-\vec x')\phi(\vec x)\phi(\vec x')$$

相应的广义动量为

$$\Pi(\vec x)=\frac{\delta L}{\delta\dot\phi(\vec x)}=\dot\phi(\vec x)$$

所以可以写出哈密顿量

$$\begin{aligned}&H(\vec \phi,\vec\Pi)=\int\mathrm{d}\vec x\dot\phi(\vec x)\Pi(\vec x)-L(\phi,\dot\phi(\phi,\Pi))\\ &=\frac12\int\mathrm{d}^2\vec x\Pi(\vec x)^2+\frac12\int\mathrm{d}^2\vec x\mathrm{d}^2\vec x'K(\vec x-\vec x')\phi(\vec x)\phi(\vec x')\end{aligned}\tag{H.0}$$

正则量子化的程序为

$$[\phi(\vec x),\phi(\vec x')]=[\Pi(\vec x),\Pi(\vec x')]=0\\ [\phi(\vec x),\Pi(\vec x')]=i\hbar\delta(\vec x-\vec x')\tag{C.0}$$

动量表象

做法是将场算符和动量算符都做傅里叶变换。为了不引起歧义

$$\tilde\phi(\vec k)=\int\mathrm{d}^2\vec xe^{-i\vec k\cdot\vec x}\phi(\vec x)\\ \tilde\Pi(\vec k)=\int\mathrm{d}^2\vec xe^{-i\vec k\cdot\vec x}\Pi(\vec x)$$

由于场算符和动量算符都是厄米算符

$$\tilde\phi^\dagger(\vec k)=\int\mathrm{d}\vec xe^{i\vec k\cdot\vec x}\phi(\vec x)=\tilde\phi(-\vec k)$$

将相互作用项也变换到动量表象

$$\omega^2(\vec k)=\int\mathrm{d}^2\vec xe^{-i\vec k\cdot\vec x} K(\vec x)$$

由于$K(\vec x)=K(-\vec x)$，所以

$$\omega^2(\vec k)=\int\mathrm{d}^2\vec x\frac{e^{-i\vec k\cdot\vec x}+e^{i\vec k\cdot\vec x}}{2}K(\vec x)=\int\mathrm{d}^2\vec x\cos(\vec k\cdot\vec x)K(\vec x)$$

所以可以得到$\omega^2(\vec k)\in\mathbb R$和$\omega^2(\vec k)=\omega^2(-\vec k)$
此处假定$\omega^2(\vec k)\ge0$

则哈密顿量第二项化为

$$\begin{aligned} &\int\mathrm{d}^2\vec x\mathrm{d}^2\vec x'K(\vec x-\vec x')\phi(\vec x)\phi(\vec x')\\ =&\int\mathrm{d}^2\vec x\mathrm{d}^2\vec x'\int\frac{\mathrm{d}^2\vec k}{(2\pi)^2}\frac{\mathrm{d}^2\vec k_1}{(2\pi)^2}\frac{\mathrm{d}^2\vec k_2}{(2\pi)^2}\omega^2(\vec k)\phi(\vec k_1)\phi(\vec k_2)e^{i\vec k\cdot(\vec x-\vec x')+i\vec k_1\cdot\vec x+i\vec k_2\cdot\vec x'}\\ =&\int\frac{\mathrm{d}^2\vec k}{(2\pi)^2}\mathrm{d}^2\vec k_1\mathrm{d}^2\vec k_2\omega^2(\vec k)\phi(\vec k_1)\phi(\vec k_2)\delta(\vec k_1+\vec k)\delta(\vec k_2-\vec k)\\ =&\int\frac{\mathrm{d}^2\vec k}{(2\pi)^2}\omega^2(\vec k)\phi(-\vec k)\phi(\vec k) \end{aligned}$$

根据

$$\int\mathrm{d}^2\vec xe^{-i\vec k\cdot\vec x}\delta(\vec x)=1$$

第一项可以直接写出（略），因此哈密顿量为

$$\begin{aligned} H(\phi,\Pi)&=\frac12\int\frac{\mathrm{d}^2\vec k}{(2\pi)^2}\left[\Pi(-\vec k)\Pi(\vec k)+\omega^2(\vec k)\phi(-\vec k)\phi(\vec k)\right]\\ &=\frac12\int\frac{\mathrm{d}^2\vec k}{(2\pi)^2}\left[\Pi^\dagger(\vec k)\Pi(\vec k)+\omega^2(\vec k)\phi^\dagger(\vec k)\phi(\vec k)\right]\\ \end{aligned}\tag{H.1}$$

trivial的对易关系有

$$[\phi(\vec k),\phi(\vec k')]=[\Pi(\vec k),\Pi(\vec k')]=0$$

不太trivial的为

$$\begin{aligned} [\phi(\vec k),\pi(\vec k')]&=\int\mathrm{d}^2\vec x\mathrm{d}^2\vec x'e^{-i\vec k\cdot\vec x-i\vec k'\cdot\vec x'}[\phi(\vec x),\Pi(\vec x')]\\ &=\int\mathrm{d}^2\vec xe^{-i\vec k\cdot\vec x-i\vec k'\cdot\vec x}i\hbar=i\hbar(2\pi)^2\delta(\vec k+\vec k') \end{aligned}\tag{C.1}$$

二次量子化

根据(H.1)，构造

$$a(\vec k)=\frac1{\sqrt2}\left[\sqrt{\frac{\omega(\vec k)}\hbar}\phi(\vec k)+\frac i{\sqrt{\omega(\vec k)\hbar}}\Pi(\vec k)\right]$$

其厄米共轭为

$$a^\dagger(\vec k)=\frac1{\sqrt2}\left[\sqrt{\frac{\omega(\vec k)}\hbar}\phi(-\vec k)-\frac i{\sqrt{\omega(\vec k)\hbar}}\Pi(-\vec k)\right]$$

逆变换为

$$\begin{aligned} \phi(\vec k)&=\frac1{\sqrt2}\sqrt\frac\hbar{\omega(\vec k)}\left[a(\vec k)+a^\dagger(-\vec k)\right]\\ \Pi(\vec k)&=\frac{-i}{\sqrt2}\sqrt{\hbar\omega(\vec k)}\left[a(\vec k)-a^\dagger(-\vec k)\right]\\ \end{aligned}$$

代入(H.1)为

$$\begin{aligned}H&=\frac12\int\frac{\mathrm{d}^2\vec k}{(2\pi)^2}\hbar\omega(\vec k)\left[a(-\vec k)a^\dagger(-\vec k)+a^\dagger(\vec k)a(\vec k)\right]\\ &=\frac12\int\frac{\mathrm{d}^2\vec k}{(2\pi)^2}\hbar\omega(\vec k)\left[a(\vec k)a^\dagger(\vec k)+a^\dagger(\vec k)a(\vec k)\right] \end{aligned}\tag{H.2}$$

第二个等号来自$\omega(\vec k)=\omega(-\vec k)$
同样，考察$a,a^\dagger$的对易关系

$$[a(\vec k),a^\dagger(\vec k')]=\frac1{2\hbar}\left[-i\sqrt{\frac{\omega(\vec k)}{\omega(\vec k')}}[\phi(\vec k,\Pi(-\vec k')]\right.\\\left.-i\sqrt{\frac{\omega(\vec k')}{\omega(\vec k)}}[\phi(-\vec k'),\Pi(\vec k)]\right]=(2\pi)^2\delta(\vec k-\vec k')\tag{C.2}$$ $$[a(\vec k),a(\vec k')]=\frac i{2\hbar}\left[\sqrt{\frac{\omega(\vec k)}{\omega(\vec k')}}[\phi(\vec k),\Pi(\vec k')]\right.\\\left.+\sqrt{\frac{\omega(\vec k')}{\omega(\vec k)}}[\Pi(\vec k),\phi(\vec k')]\right]=0$$

利用(C.2)可以将(H.2)写为更熟悉的形式

$$H=\int\frac{\mathrm{d}^2\vec k}{(2\pi)^2}\hbar\omega(\vec k)\left[a^\dagger(\vec k)a(\vec k)+\frac{(2\pi)^2}2\right]$$

动量算符与平移

定义算符

$$\vec P=\int\frac{\mathrm{d}^2\vec k}{(2\pi)^2}\hbar\vec ka^\dagger(\vec k)a(\vec k)$$

它显然满足

$$[\vec P,a^\dagger(\vec k)]=\hbar\vec ka^\dagger(\vec k),[\vec P,a(\vec k)]=-\hbar\vec ka^\dagger(\vec k)$$

所以作用在某个量子态$|K\rangle=|k_1,\cdots k_n\rangle$上时

$$\begin{aligned}\vec P|K\rangle=&\vec Pa^\dagger(k_1)\cdots a^\dagger(k_n)|vac\rangle\\ =&\hbar\vec k_1|K\rangle+a^\dagger(k_1)\vec Pa^\dagger(k_2)\cdots a^\dagger(k_n)|vac\rangle\\ =&\cdots=\hbar(\vec k_1+\cdots\vec k_n)|K\rangle \end{aligned}$$

这说明$\vec P$的意义是总动量。
接下来说明$\vec P$的第二个物理意义，即平移
计算$[\vec P,\phi(\vec x)]$，首先需要将坐标表象波函数用二次量子化表象表示出来

$$\begin{aligned} \phi(\vec x)&=\int\frac{\mathrm{d}^2\vec k}{(2\pi)^2}e^{i\vec k\cdot\vec x}\phi(\vec k)\\ &=\int\frac{\mathrm{d}^2\vec k}{(2\pi)^2}\frac1{\sqrt2}\sqrt\frac\hbar{\omega(\vec k)}e^{i\vec k\cdot\vec x}\left[a(\vec k)+a^\dagger(-\vec k)\right]\\ &=\int\frac{\mathrm{d}^2\vec k}{(2\pi)^2}\frac1{\sqrt2}\sqrt\frac\hbar{\omega(\vec k)}\left[a(\vec k)e^{i\vec k\cdot\vec x}+a^\dagger(\vec k)e^{-i\vec k\cdot\vec x}\right]\\ \end{aligned}$$

所以

$$[\vec P,\phi(\vec x)]=i\hbar\nabla\phi(\vec x)$$

定义一个辅助函数

$$f(\vec x,\vec y)=e^{\vec y\cdot\vec P/i\hbar}\phi(\vec x)e^{-\vec y\cdot\vec P/i\hbar}$$

对$\vec y$求偏导

$$\nabla_yf(\vec x,\vec y)=\frac{1}{i\hbar}e^{\vec y\cdot\vec P/i\hbar}[\vec P,\phi(\vec x)]e^{-\vec y\cdot\vec P/i\hbar}=\nabla_xf(\vec x,\vec y)$$

所以$f(\vec x,\vec y)=f(\vec x-\vec y)$，又因为$f(\vec x,\vec 0)=\phi(\vec x)$，所以

$$e^{\vec y\cdot\vec P/i\hbar}\phi(\vec x)e^{-\vec y\cdot\vec P/i\hbar}=\phi(\vec x-\vec y)$$