相干态

（一维）相干态$|z\rangle$有两个重要特性：

1. 满足最小不确定性$\Delta x\Delta p=\hbar/2$
2. 是湮灭算符的本征值

本文从特性1.出发“猜测”相干态的形式，再证明特性2.以及其他性质。

• [ ] 检验是否还有其它态满足最小不确定性

简化的符号约定

Hamiltonian为

$$\hat H=\frac{\hat p^2}2+\frac{\hat x^2}2=\hat a^\dagger\hat a+\frac12\tag1$$

对易关系为

$$[\hat a,\hat a^\dagger]=1,[\hat x,\hat p]=i\tag2$$

容易检验，下式能够满足(1)(2)

$$\hat x=\frac{\hat a+\hat a^\dagger}{\sqrt2},\hat p=\frac{\hat a-\hat a^\dagger}{i\sqrt2}$$

定义辅助量复数$z$

$$z=\frac{x+ip}{\sqrt2}\Rightarrow \bar z=\frac{x-ip}{\sqrt2}$$

简单起见，记为

$$\left[\begin{array}{c}\hat x\\i\hat p\end{array}\right]=O\left[\begin{array}{c}\hat a\\\hat a^\dagger\end{array}\right],\quad \left[\begin{array}{c}z\\\bar z\end{array}\right]=O\left[\begin{array}{c}x\\ip\end{array}\right],\quad O=\frac1{\sqrt2}\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\end{array}\right] \tag3$$

粒子数本征态的不确定性关系

利用(3)可计算

$$\langle n|\hat x|n\rangle=0,\langle n|\hat x^2|n\rangle=\frac12+n\Rightarrow\Delta x=\sqrt{n+\frac12}$$

同理$\Delta p=\sqrt{n+\frac12}$，因此

$$\Delta x\Delta p=n+\frac12\ge|[\hat x,\hat p]|/2$$

当且仅当基态时不确定性最小。我们想要找到其他不确定性最小的态，一个充分条件是$|0\rangle$将坐标和动量中心平移至$(x_0,p_0)$；利用(3)也可等价地说移动$z_0$

平移算符

平移算符的形式我们都很熟悉

$$W(a,b)=e^{i(b\hat x-a\hat p)}$$

利用Baker-Hausdorff恒等式（证明方法为$\hat A\rightarrow s\hat A$，在$s=0$处做Taylor展开）

$$e^{\hat A}\hat Be^{-\hat A}=\hat B+[\hat A,\hat B]+\frac1{2!}[\hat A,[\hat A,\hat B]]+\cdots\tag4$$

可以计算坐标平均值

$$\langle\hat x\rangle=\langle0|e^{-i(b\hat x-a\hat p)}\hat xe^{i(b\hat x-a\hat p)}|0\rangle=\langle0|\hat x+ai[\hat p,\hat x]|0\rangle=x+a$$

同理可得动量平均值$\langle\hat p\rangle=p+b$，所以

$$W(x_0,p_0)=\exp\left[i(p_0\hat x-x_0\hat p)\right]=\exp\left[z\hat a^\dagger-\bar z\hat a\right]$$

再利用(4)，在$[\hat A,\hat B]$为常数时（事实上只要和$\hat A,\hat B$均对易即可）有Glauber定理

$$e^{\hat A}e^{\hat B}=e^{\hat A+\hat B}e^{[\hat A,\hat B]/2}\tag5$$

具体证明为：先定义$f(s)=e^{s\hat A}e^{s\hat B}$

$$\begin{aligned}&e^{\hat A}\hat Be^{-\hat A}=\hat B+[\hat A,\hat B]+0\\ f'(s)&=\hat Ae^{s\hat A}e^{s\hat B}+e^{s\hat A}\hat Be^{-s\hat A}e^{s\hat A}e^{s\hat B}\\ &=(\hat A+\hat B+[\hat A,\hat B]s)f(s) \end{aligned}$$

所以 $f(s)=e^{(\hat A+\hat B+[\hat A,\hat B])s^2/2}$

所以平移算符为

$$W(x_0,p_0)=e^{-|z_0|^2/2}e^{z_0\hat a^\dagger}e^{-\bar z_0\hat a}\tag6$$

因为湮灭算符作用在基态上给出零结果，所以相干态为

$$|z\rangle=W(x,p)|0\rangle=e^{-|z|^2/2}e^{z\hat a^\dagger}|0\rangle=e^{-|z|^2/2}\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle\tag7$$

既然有了表达式，那很容易证明$\hat a|z_0\rangle=|z_0\rangle$

相干态的其他性质

1. 内积（不正交） $$\langle z|z'\rangle=e^{-(|z|^2+|z^*|^2)/2}\sum_{n=0}^\infty\frac{(z^*z')^n}{n!}=e^{-(|z|^2+|z^*|^2)/2}e^{z^*z'}$$ 虽然不同相干态不正交，但是从平移算符得到的相干态是归一的。
2. 超完备性 $$|z\rangle\langle z|=e^{-|z|^2}\sum_{m=0}^\infty\sum_{n=0}^\infty \frac{z^m(z^*)^n}{\sqrt{m!n!}}|m\rangle\langle n|$$ 根据(3)$|z|^2=(x^2+p^2)/2$可得启发换元$re^{i\theta}$ $$\int\mathrm dx\mathrm dp\ e^{-|z|^2}z^m(z^*)^n=\int_0^\infty 2r\mathrm dr\int_0^{2\pi}\mathrm d\theta\ e^{-r^2}r^{m+n}e^{i(m-n)\theta}=2\pi m!\delta_{m,n}$$ 所以有 $$\int\frac{\mathrm dx\mathrm dp}{2\pi}|z\rangle\langle z|=\hat 1$$
3. 概率分布为Possion分布$P_n\propto \frac{|z|^{2n}}{n!}\propto\frac{(p^2+x^2)^n}{2^nn!}$
4. 时间演化 $$U(t,0)|z\rangle=e^{-iHt}|z\rangle=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{\sqrt{n!}}e^{-i(n+1/2)t}|n\rangle=e^{-it/2}\sum_{n=0}^\infty\frac{(ze^{-it})^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle$$ 所以随时间演化它仍然是相干态，只不过$z(t)=z(0)e^{-it}$。从(3)可以知道这意味着 $$\begin{aligned}x(t)&=x(0)\cos t+p(0)\sin t\\ p(t)&=-x(0)\sin t+p(0)\cos t\end{aligned}$$ 这说明参数按照经典运动方程演化