零温场论

量子统计物理里有太多正负号、虚数单位，不注意的话很容易搞混。为了自洽，尝试归拢为一篇。

顺便，也作为零温场论的复习。约定 $\Phi$ 为无相互作用情形，$\Psi$ 为相互作用情形。

格林函数

定义和物理意义

$$iG_{\alpha\beta}(x,x')=\frac{\langle\Psi_0|T\left[\psi_\alpha(x)\psi^\dagger_\beta(x')\right]|\Psi_0\rangle}{\langle\Psi_0|\Psi_0\rangle}\tag{1.1}$$

格林函数有三个重要物理意义。下文中出现的$x^+$意为空间坐标为$\mathbf x$，时间稍晚为 $t^+$；求迹指对自旋求和，即Pauli矩阵形式。

1. 计算基态时单粒子算符的期望值 $$\begin{aligned} \langle \hat{\mathcal J}\rangle &=\sum_{\alpha,\beta}J_{\alpha\beta}(x)\langle\psi^\dagger_\alpha(x)\psi_\beta(x)\rangle\\ &=\sum_{\alpha,\beta}J_{\alpha\beta}(x)\lim_{x'\rightarrow x^+}\pm iG_{\beta\alpha}(x,x^+)\\ &=\pm i\lim_{x'\rightarrow x^+}\mathrm{Tr}[J(x)G(x,x^+)] \end{aligned}$$
2. 计算基态能量 $$E=\pm\frac i2\int\mathrm d^4x\lim_{x'\rightarrow x^+}\left[i\hbar\frac{\partial}{\partial t}+T(x)\right]\mathrm{Tr}\left[G(x,x')\right]$$
3. 计算激发谱：Lehmann表示。具体讨论如下

无相互作用格林函数

无相互作用时，哈密顿量为

$$H=\sum_{\mathbf k,\lambda}\frac{\hbar^2\mathbf k^2}{2m}a^\dagger_{\mathbf k,\lambda}a_{\mathbf k,\lambda}=\sum_{\lambda}\int\mathrm d^4x\ \psi_\lambda^\dagger(\mathbf x)\left(-\frac{\hbar^2\nabla_{\mathbf x}^2}{2m}\right)\psi_\lambda(\mathbf x)$$

坐标空间中产生湮灭算符为

$$\begin{aligned} \psi_\lambda^\dagger(\mathbf x)=\frac1{\sqrt V}\sum_{\mathbf k}e^{-i\mathbf k\cdot\mathbf x}a^\dagger_{\mathbf k,\lambda}\\ \psi_\lambda(\mathbf x)=\frac1{\sqrt V}\sum_{\mathbf k}e^{i\mathbf k\cdot\mathbf x}a_{\mathbf k,\lambda}\\ \end{aligned}$$

进而Heisenberg绘景下为

$$\begin{aligned} \psi_{H,\lambda}^\dagger(x)=\frac1{\sqrt V}\sum_{\mathbf k}e^{-i\mathbf k\cdot\mathbf x+i\omega_{\mathbf k}t}a^\dagger_{\mathbf k,\lambda}\\ \psi_{H,\lambda}( x)=\frac1{\sqrt V}\sum_{\mathbf k}e^{i\mathbf k\cdot\mathbf x-i\omega_{\mathbf k}t}a_{\mathbf k,\lambda}\\ \end{aligned}$$

所以根据定义，格林函数为

$$iG^0_{\alpha\beta}(x,x')=\frac1V\sum_{\mathbf{k,k}'}e^{i(\mathbf{k\cdot x-k'\cdot x'})-i(\omega_{\mathbf k}t-\omega_{\mathbf k'}t')}\left(\langle a_{\mathbf k,\alpha}a_{\mathbf k',\beta}^\dagger\rangle\theta(t-t')-\langle a^\dagger_{\mathbf k',\beta}a_{\mathbf k,\alpha}\rangle\theta(t'-t)\right)$$

对于费米子，可简化为

$$iG^0_{\alpha\beta}(x,x')=\frac{\delta_{\alpha\beta}}V\sum_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{k\cdot (x-x')}-i\omega_{\mathbf k}(t-t')}\left(\theta(|\mathbf k|-k_F)\theta(t-t')-\theta(k_F-|\mathbf k|)\theta(t'-t)\right)$$

由于各向同性，可做Fourier变换

$$\begin{aligned} G^0_{\alpha\beta}(\mathbf k,\omega)&=\int\mathrm d^4(x-x')\ e^{-i\mathbf{k\cdot (x-x')}+i\omega(t-t')}G^0_{\alpha\beta}(x,x')\\ &=-i\delta_{\alpha\beta}\int\mathrm dt\ e^{i(\omega-\omega_{\mathbf k})t}\left(\theta(|\mathbf k|-k_F)\theta(t)-\theta(k_F-|\mathbf k|)\theta(-t)\right)\\ &=-i\delta_{\alpha\beta}\left(-\frac{\theta(|\mathbf k|-k_F)}{i(\omega-\omega_{\mathbf k})-\eta}-\frac{\theta(k_F-|\mathbf k|)}{i(\omega-\omega_{\mathbf k})+\eta}\right)\\ &=\delta_{\alpha\beta}\left(\frac{\theta(|\mathbf k|-k_F)}{\omega-\omega_{\mathbf k}+i\eta}+\frac{\theta(k_F-|\mathbf k|)}{\omega-\omega_{\mathbf k}-i\eta}\right)\\ \end{aligned}\tag{1.2}$$

所以激发谱为格林函数在频域的极点。对于相互作用体系也有类似结论，即所谓的Lehmann表示

Lehmann表示

虽然不能把坐标空间的算符用在频域里表示出来，但提取出时间部分还是可行的。做法为：在两个算符之间插入完备基，把算符从Heisenberg变换至Schrodinger。方便起见，认为所有波函数都已经归一化

$$\begin{aligned} iG_{\alpha\beta}(x,x')&=\sum_n e^{i(E_n-E)(t-t')/\hbar}\langle\Psi_0|\psi_\alpha(\mathbf x)|N+1,\Psi_n\rangle\langle N+1,\Psi_n|\psi_\beta^\dagger(\mathbf x')|\Psi_0\rangle\theta(t-t')\\ &-\sum_n e^{-i(E_n-E)(t-t')/\hbar}\langle\Psi_0|\psi^\dagger_\beta(\mathbf x')|N-1,\Psi_n\rangle\langle N-1,\Psi_n|\psi_\alpha(\mathbf x)|\Psi_0\rangle\theta(t'-t)\\ \end{aligned}$$

两行插入的完备基是不一样的，因为是在不同的Fock空间里取完备基，即分别为$\mathscr F^{(N+1)},\mathscr F^{(N-1)}$。对于各向同性的情况，可以对空间做平移，引入平移算符$\mathbf P\equiv\sum_{\mathbf k,\lambda}\hbar\mathbf ka^\dagger_{\mathbf k,\lambda}a_{\mathbf k,\lambda}$将算符移至原点。假设基态动量也为零，则

$$\begin{aligned} iG_{\alpha\beta}(x,x')&=\sum_{\mathbf k} e^{i(E_{N+1,\mathbf k}-E)(t-t')/\hbar-i\mathbf k\cdot(x-x')}\langle\Psi_0|\psi_\alpha|N+1,\mathbf k\rangle\langle N+1,\mathbf k|\psi_\beta^\dagger|\Psi_0\rangle\theta(t-t')\\ &-\sum_{\mathbf k} e^{-i(E_{N-1,\mathbf k}-E)(t-t')/\hbar+i\mathbf{k\cdot(x-x')}}\langle\Psi_0|\psi^\dagger_\beta|N-1,\mathbf k\rangle\langle N-1,\mathbf k|\psi_\alpha|\Psi_0\rangle\theta(t'-t)\\ \end{aligned}$$

我们省略了坐标零。和(1.2)同样的做Fourier变换

$$G^0_{\alpha\beta}(\mathbf k,\omega)=\delta_{\alpha\beta}\left(\begin{aligned}&\frac{\langle\Psi_0|\psi_\alpha|N+1,\mathbf k\rangle\langle N+1,\mathbf k|\psi_\beta^\dagger|\Psi_0\rangle}{\omega-(E_{N+1,\mathbf k}-E)/\hbar+i\eta}\\ +&\frac{\langle\Psi_0|\psi^\dagger_\beta|N-1,\mathbf k\rangle\langle N-1,\mathbf k|\psi_\alpha|\Psi_0\rangle}{\omega+(E_{N-1,\mathbf k}-E)/\hbar-i\eta}\end{aligned}\right)$$

第一项分母中的能量差可以视为先放入一个新粒子，再提高能量，即$E_{N+1,\mathbf k}-E=\mu+(N+1)\epsilon_{\mathbf k}$，第二项也同样处理，得到

$$G^0_{\alpha\beta}(\mathbf k,\omega)=\hbar\delta_{\alpha\beta}\left(\begin{aligned}&\frac{\langle\Psi_0|\psi_\alpha|N+1,\mathbf k\rangle\langle N+1,\mathbf k|\psi_\beta^\dagger|\Psi_0\rangle}{\hbar\omega-\mu-(N+1)\epsilon_{\mathbf k}+i\eta}\\ +&\frac{\langle\Psi_0|\psi^\dagger_\beta|N-1,\mathbf k\rangle\langle N-1,\mathbf k|\psi_\alpha|\Psi_0\rangle}{\hbar\omega-\mu+(N-1)\epsilon_{\mathbf k}-i\eta}\end{aligned}\right)\tag{1.3}$$

注意，虽然过程中要求它是费米子，但是很容易验证对于玻色子也成立。推导过程几乎完全一样。

Feynman规则

坐标形式

推导所有Feynman规则是一件很麻烦的事，我们的目标是获取相互作用下的格林函数。能够使用的是(1.2)式，即无相互作用的格林函数。利用定义可以得到（当然，很不显然）

$$iG_{\alpha\beta}(x,x')=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{-i}{\hbar}\right)^n\frac{1}{n!}\frac{\langle\Phi_0|T\left[H_1(t_1)\cdots H_1(t_n)\psi_{I,\alpha}(x)\psi^\dagger_{I,\beta}(x')\right]|\Phi_0\rangle}{\langle\Phi_0|S|\Phi_0\rangle}=\sum_{n=0}^\infty iG_{\alpha\beta}^n(x,x')$$

可以通过Wick定理将分子分母写为一系列非相互作用格林函数的乘积，每一项均用一条线（实线或波浪线）表示，因此形成图。可以证明分母的作用是刨除非连接图。具体而言

1. 画出所有拓扑不等价的、连接的Feynman图，虚线和实线分别有$n,2n+1$条
2. 每个顶点赋值一个时空坐标
3. 每条实线代表无相互作用格林函数$iG^0$
4. 每一条虚线代表相互作用$U_{\lambda\lambda',\mu\mu'}(x,y)=V_{\lambda\lambda',\mu\mu'}(\mathbf{x,y})\delta(t_x-t_y)$
5. 对所有内部时空点积分，对所有内部自旋求和
6. 填上系数$(-i/\hbar)^n,(-1)^F$和对称因子$1/S$
7. 等时格林函数变为$G^0(x,t;x’,t)\rightarrow G^0(x,t;x’,t^+)$

以上能算出$iG^n$。但往往我们想计算$G^n$，所以还需要除以一个虚数单位。3和6两步汇总可知，如果每条实线代表的是$G^0$，那么系数为$(i/\hbar)^n(-1)^F$（忽略对称因子）

频域形式

从(1.2)可以看出频域形式更加方便。所以将Feynman规则稍加改动用于计算$G^n_{\alpha\beta}(\mathbf k,\omega)$，定义和(1.2)保持一致

1. 画出所有拓扑不等价的、连接的Feynman图，虚线和实线分别有$n,2n+1$条
2. 每条线赋值4-动量
3. 每条实线代表无相互作用格林函数$G^0_{\alpha\beta}(\mathbf k,\omega)$，定义见(1,2)
4. 每一条虚线代表相互作用$U_{\lambda\lambda',\mu\mu'}(q)=V_{\lambda\lambda',\mu\mu'}(\mathbf{q})=\int\frac{\mathrm d^3\mathbf q}{(2\pi)^3}\ e^{-i\mathbf q\cdot x}V(\mathbf x)$
5. 保证每个顶点4-动量守恒，对剩余动量积分，对所有内部自旋求和
6. 填上系数$(\frac i\hbar)^n(\frac1{2\pi})^{4n}(-1)^F$和对称因子$1/S$
7. $G^0\rightarrow e^{i\eta}G^0$，为了避免等时情形

自能与Dyson方程

上图左边定义了自能$\Sigma$，右边定义了恰当自能$\Sigma^\star$。在频域中表达式为

$$G_{\alpha\beta}(k)=G_{\alpha\beta}^0(k)+G^0_{\alpha\alpha'}(k)\Sigma_{\alpha'\beta'}(k)G^0_{\beta'\beta}(k)$$ $$\Sigma_{\alpha\beta}(k)=\Sigma_{\alpha\beta}^\star(k)+\Sigma_{\alpha\alpha'}^\star(k)G^0_{\alpha'\beta'}(k)\Sigma_{\beta'\beta}(k)$$

Dyson方程为以上两式消去自能，即

$$G_{\alpha\beta}(k)=G_{\alpha\beta}^0(k)+G^0_{\alpha\alpha'}(k)\Sigma^\star_{\alpha'\beta'}(k)G_{\beta'\beta}(k)\tag{3.1}$$

需要指出，上式需要在各向同性的条件下成立。此时还能进一步得到，它们在自旋空间中都是对角化的，所以可以删去角标

$$G(k)=\frac{1}{(G^0(k))^{-1}-\Sigma^\star(k)}=\frac{1}{\omega-\omega_{\mathbf k}+i\eta\mathrm{sign}(|\mathbf k|-k_F)-\Sigma^\star(k)}$$

根据Lehman表示(1.3)可知，$\omega<\mu/\hbar$时$\mathrm{Im}\Sigma^\star>0$，反之亦然。所以$\Sigma(\mathbf k,\mu)\in\mathbb R$

当各向同性条件不成立时，无法得到(3.1)式，只能在坐标空间中计算

$$G_{\alpha\beta}(x,x')=G_{\alpha\beta}^{0}(x,x')+\sum_{\alpha',\beta'}\int\mathrm d^4x_1\mathrm d^4x_2\ G^0_{\alpha\alpha'}(x,x_1)\Sigma^\star_{\alpha'\beta'}(x_1,x_2)G_{\beta'\beta}(x_2,x')\tag{3.2}$$

Hartree-Fock近似

基本原理

Hartee-Fock近似从自能的一阶近似出发。为了得到一阶自能，先求一阶格林函数。简单起见，考虑无自旋相互作用

$$\begin{aligned}G^{(1)}_{\alpha\alpha}(x,y) &=-\sum_{\beta,\gamma}\frac i\hbar\int\mathrm d^4x_1\mathrm d^4x_3\ G^0_{\beta\beta}(x_3,x_3^+)U_{\gamma\gamma,\beta\beta}(x_1,x_3)G_{\alpha\gamma}^0(x,x_1)G_{\alpha\gamma}^0(x_1,y)\\ &+\sum_{\beta,\gamma}\frac i\hbar\int\mathrm d^4x_1\mathrm d^4x_2\ G^0_{\alpha\beta}(x,x_1)G^0_{\beta\gamma}(x_1,x_2)G^0_{\gamma\alpha}(x_2,y)U_{\beta\beta,\gamma\gamma}(x_1,x_2) \end{aligned}$$

第一项$\beta$有两个选择，所以自能为

$$\Sigma^\star_{(1)}(x_1,x_2)=-2\frac i\hbar\int\mathrm d^4x_3\ G^0(x_3,x_3^+)U(x_1,x_3)\delta^4(x_1-x_2) +\frac i\hbar G^0(x_1,x_2)U(x_1,x_2)$$

Hartee-Fock近似将上式的自由格林函数替换掉，即

$$\hbar\Sigma^\star(x_1,x_2)\approx-2i\int\mathrm d^4x_3\ G(x_3,x_3^+)U(x_1,x_3)\delta^4(x_1-x_2)+i G(x_1,x_2)U(x_1,x_2)$$

进而可以与Dyson方程联立，迭代求解。方便起见将其汇总于下方，虽然不一定具有各向同性，但是仍然可以对时间做Fourier变换

$$\left\{\begin{aligned} G(\mathbf {x,y};\omega)&=G^0(\mathbf {x,y};\omega)+\int\mathrm d^3\mathbf x_1\mathrm d^3\mathbf x_2\ G^0(\mathbf x,\mathbf x_1;\omega)\Sigma^\star(\mathbf x_1,\mathbf x_2)G(\mathbf {x_2,y};\omega)\\ \hbar\Sigma^\star(\mathbf x_1,\mathbf x_2)&= -2i\frac1{2\pi}\int\mathrm d^3\mathbf x_3\mathrm d\omega\ e^{i\omega0^+}G(\mathbf x_3,\mathbf x_3;\omega)V(\mathbf x_1,\mathbf x_3)\delta^3(\mathbf x_1-\mathbf x_2)\\ &+i\frac1{2\pi}\int\mathrm d\omega\ e^{i\omega 0^+}G(\mathbf x_1,\mathbf x_2;\omega)V(\mathbf x_1,\mathbf x_2) \end{aligned}\right.\tag{4.1}$$

程序实现

先出给伪代码

本征系统 = 对角化( 哈密顿量 );
while ( 精度范围 )
{
    新的自能 = 自能( 本征系统 )；
    新的本征系统 = 对角化( 哈密顿量 + 自能)；
}
格林函数( 本征系统 );

具体需要回答三个问题:

1. 如何从本征系统求格林函数
2. 如何从本征系统求自能
3. 为什么新的本征系统是将（哈密顿量 + 自能）对角化

从本征系统求格林函数

场算符可以用升降算符表示

$$\psi_H^\dagger(x)=e^{iHt/\hbar}\psi^\dagger(x)e^{-iHt/\hbar}=\sum_{j}e^{iHt/\hbar}\varphi_j^*(\mathbf x)c_j^\dagger e^{-iHt/\hbar}=\sum_j e^{i\epsilon_jt/\hbar}c_j^\dagger\varphi_j^*(\mathbf x)$$

所以格林函数为

$$\begin{aligned} G(x,x')&=\sum_{i,j}e^{-i(\epsilon_i t-\epsilon_j t')/\hbar}\varphi_i(\mathbf x)\varphi_j^*(\mathbf x')\left(\langle c_i c_j^\dagger\rangle\theta(t-t')-\langle c_j^\dagger c_i\rangle\theta(t'-t)\right)\\ &=\sum_{j}e^{-i\epsilon_j(t-t')/\hbar}\varphi_j(\mathbf x)\varphi_j^*(\mathbf x')\left(\theta(\epsilon_j-\epsilon_F)\theta(t-t')-\theta(\epsilon_F-\epsilon_j)\theta(t'-t)\right)\\ \end{aligned}$$

Fourier变换后为

$$G(\mathbf x,\mathbf x';\omega)=\sum_{j}\varphi_j(\mathbf x)\varphi_j^*(\mathbf x')\left(\frac{\theta(\epsilon_j-\epsilon_F)}{\omega-\epsilon_j/\hbar+i\eta}+\frac{\theta(\epsilon_F-\epsilon_j)}{\omega-\epsilon_j/\hbar-i\eta}\right)\tag{4.2}$$

$\epsilon_F$为费米能级，具体实现为从最低能级开始，前$N$（总粒子数）个取负号，之后取正号。

从本征系统求自能

即(4.1)将格林函数换为本征系统

$$\begin{aligned} \hbar\Sigma^\star(\mathbf x_1,\mathbf x_2)&= 2\delta^3(\mathbf x_1-\mathbf x_2)\int\mathrm d^3\mathbf x\ V(\mathbf x_1,\mathbf x)\sum_j|\varphi_j(\mathbf x)|^2\theta(\epsilon_F-\epsilon_j)\\ &-V(\mathbf x_1,\mathbf x_2)\sum_j\varphi_j(\mathbf x_1)\varphi_j^*(\mathbf x_2)\theta(\epsilon_F-\epsilon_j) \end{aligned}\tag{4.3}$$

其中第一行被称为Hartree项，第二行被称为Fock项

从自能求本征系统

根据(4.2)也可将无相互作用格林函数用无相互作用本征系统表示。用$L(x)=-H^0(x)+\hbar\omega$作用在(4.1)第一式得

$$LG(\mathbf x,\mathbf y;\omega)=\hbar\delta^3(\mathbf x-\mathbf y)+\hbar\int\mathrm d^3\mathbf x_2\Sigma^\star(\mathbf x,\mathbf x_2)G(\mathbf x_2,\mathbf y;\omega)$$

容易验证，下述本征方程所确定的本征系统代入(4.2)后可获得格林函数，该格林函数满足上式

$$H^0\varphi_j(\mathbf x)+\int\mathrm d^3\mathbf x_2\ \hbar\Sigma^\star(\mathbf x,\mathbf x_2)\varphi_j(\mathbf x_2)=\epsilon\varphi_j(\mathbf x)\tag{4.3}$$

诚然，我们还需要证明每步迭代都能保证左式是厄米的。也就是说(4.3)得到的$\Sigma^\star(\mathbf x_1,\mathbf x_2)=\Sigma^\star(\mathbf x_2,\mathbf x_1)^*$。而这几乎是显然的。

综上所述，我们解释了每一行代码，至于将伪代码写成可以运行的代码就不是课程应该关心的事了。

Ladder图近似

考虑“稀”的费米气体，因此费米能级$k_F$很小。同时假设相互作用是短程的，典型线度为$a$。因此$k_Fa$是无量纲数，可以将物理量按照其幂次展开。

仍然算恰当自能$\hbar\Sigma^\star$，因为利用Dyson方程可以从它推出格林函数。当然之后会看到仅仅停留在恰当自能还不够，先给出关系图

TBC…

圈近似