一种正规化方案

正规化是用于处理无穷大的一种技术手段，常见的方式有

• 维数正规化
• Pauli-Villars正规化
• 晶格正规化
• $\zeta$函数正规化
• Hadamard正规化
• 点分裂正规化

至今为止，我对正规化一无所知。北京大学檀时钠《量子场论》课上给出一种正规化方案，本文用于重现这种方案。将来可能会将其与正常做法作比较。

引理一：高维球体积

$$V^{(d)}=\frac{\pi^{d/2}}{\Gamma\left(\frac d2+1\right)},\quad S^{(d)}=\frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma\left(\frac d2\right)}\tag1$$

证明很直接，利用数学归纳法即可，关键一步为

$$V^{(d)}=\int_{-1}^1\frac{\pi^{(d-1)/2}}{\Gamma\left(\frac{d-1}2+1\right)}(1-x^2)^{\frac{d-1}2}\mathrm dx =\frac{\pi^{(d-1)/2}}{\Gamma\left(\frac{d-1}2+1\right)}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^d\theta\mathrm d\theta =\frac{\pi^{d/2}}{\Gamma\left(\frac d2+1\right)}$$

而表面积为体积对半径的微商，那就很显然了。

引理二：Feynman参数积分

$$\begin{aligned} &\frac{1}{(A_1+i\eta_1)\cdots(A_n+i\eta_n)}=\int\mathrm dF_n\left(x_1A_1+\cdots+x_nA_n\right)^{-n}\\ &\int\mathrm dF_n=(n-1)!\int\mathrm dx_1\cdots\mathrm dx_n\ \delta\left(x_1+\cdots+x_n-1\right)\end{aligned}\tag2$$

对于单个而言，我们有

$$\frac1{A+i\eta}=-i\int_0^\infty\mathrm dt\ e^{(-\eta+iA)t}$$

可以看到正数 $\eta_j$ 使积分收敛。所以 $n$ 项积分为

$$LHS=(-i)^n\int_0^\infty\mathrm dt_1\cdots\mathrm dt_n\ e^{i(A_1t_1+\cdots A_nt_n)-0}$$

再引入一个辅助量$\lambda$

$$\int_0^\infty\frac{\mathrm d\lambda}{\lambda}\delta\left(1-\frac1\lambda\sum_{j=1}^nt_j\right)=\int_0^\infty\frac{\mathrm d\lambda}\lambda\frac{\delta(\lambda-\sum_{j=1}^nt_j)}{1/\lambda}=1$$

插入上式，并换元 $x_j=t_j/\lambda$

$$LHS=(-i)^n\int_0^\infty\mathrm dx_1\cdots\mathrm dx_n\mathrm d\lambda\ \lambda^{n-1}\delta(\lambda-\lambda\sum_{j=1}^nx_j)e^{i\lambda(A_1x_1+\cdots+A_nx_n)-0\lambda}$$

对$\lambda$积分是个Gamma函数，因此可以求解，最终得到(2)式

例子一：六维时空$\varphi^3$理论自能项

变换到欧氏空间

$$\mathcal L=-\frac12\partial_\mu\varphi\partial^\mu\varphi-\frac{m^2}2\varphi^2+\frac g{3!}\varphi^3$$

拉氏量和场算符的维数分别是$d,d/2-1$，所以当时空维数$d=6$时$g$无量纲。自能最低阶为

$$\Pi(k^2)\approx \frac{g^2}{2}\int\frac{-i\mathrm d^dl}{(2\pi)^d}\Delta(l)\Delta(k+l)=\frac{g^2}2\int\frac{-i\mathrm d^dl}{(2\pi)^d}\frac{1}{\left[l^2+m^2-i\epsilon\right]\left[(l+k)^2+m^2-i\epsilon\right]}$$

变换到欧氏空间

$$\Pi(k_E^2)=\frac{g^2}2\int\frac{\mathrm d^dl_E}{(2\pi)^d}\frac{1}{(l_E^2+m^2)[(l_E+k_E)^2+m^2]}$$

考察发散性质

对$k_E$求导，符号记为$\partial_k^2=g^{\mu\nu}\frac{\partial}{\partial k^\mu}\frac{\partial}{\partial k^\nu}$

$$\partial_k^2\Pi(k_E^2)=-\frac{g^2}2\int\frac{\mathrm d^dl_E}{(2\pi)^d}\frac{8}{(l_E^2+m^2)[(l_E+k_E)^2+m^2]^2}$$

仍然发散

$$\partial_k^2\partial_k^2\Pi(k_E^2)=\frac{g^2}2\int\frac{\mathrm d^dl_E}{(2\pi)^d}\frac{128}{(l_E^2+m^2)[(l_E+k_E)^2+m^2]^3}$$

收敛，所以$\Pi(k_E^2)=\Pi^{\text{特解}}(k_E^2)+c_1+c_2k_E^2$

实际积分

利用(2)

$$\begin{aligned}\Pi(k_E^2)&=\frac{g^2}2\int\frac{\mathrm d^dl_E}{(2\pi)^d}\int_0^1\mathrm dx\left\{(1-x)(l_E^2+m^2)+x\left[(l_E+k_E)^2+m^2\right]\right\}^{-2}\\ &=\frac{g^2}2\int\frac{\mathrm d^dl_E}{(2\pi)^d}\int_0^1\mathrm dx\left\{(l_E+xk_E)^2+(x-x^2)k_E^2+m^2\right\}^{-2}\\ &=\frac{g^2}2\int_0^1\mathrm dx\int\frac{\mathrm d^dl_E}{(2\pi)^d}\left\{l_E^2+(x-x^2)k_E^2+m^2\right\}^{-2}\\ \end{aligned}$$

最后一步做了个平移，因为是对全空间积分，所以不影响结果。可以看到，当$d\ge3$时积分发散，

分为在半径为$Q$的球内外两部分积分，球内部分需要用到(1)，球外部分直接写为$f(k_E^2;Q)$。并设$D=(x-x^2)k_E^2+m^2$

$$\begin{aligned} \Pi(k_E^2)&=\frac{g^2}2\int_0^1\mathrm dx\left[\int_0^Q\frac{\pi^3r^5\mathrm dr}{2(2\pi)^6}\left\{r^2+D\right\}^{-2}+f(k_E^2;Q)\right]\\ &=\frac{g^2}2\int_0^1\mathrm dx\left[\frac{1}{64\pi^3}\left(\frac{(2D+Q^2)Q^2}{2(D+Q^2)}+D\ln\frac{D}{D+Q^2}\right)+f(k_E^2;Q)\right]\\ &=\frac{g^2}2\int_0^1\mathrm dx\left[\frac{1}{64\pi^3}\left(\frac D2+D\ln D+\frac{Q^2}2-2D\ln Q\right)+f(k_E^2;Q)+\mathcal O(Q^{-2})\right]\\ \end{aligned}$$

因为总的积分值与$Q$无关，所以根据之前考察的发散性质可知

$$\Pi(k_E^2)=\frac{g^2}{128\pi^2}\int_0^1\mathrm dx\left(\frac D2+D\ln D\right)+c_1+c_2k_E^2$$

积分的最终结果为（下式中的$c_1,c_2$与上式不同。注意到第一项积分只会出现常数项和二次项，所以可以吸收进待定系数）

$$\Pi(k_E^2)=\frac{g^2}{768\pi^2}\left[(k_E^2+4m^2)^{3/2}\frac{2\mathrm{arcsinh}\frac{\sqrt{k_E^2}}{2m}}{\sqrt{k_E^2}} +c_1+c_2k_E^2\right]\tag4$$

在on-shell方案下 $\Pi(-m^2)=\Pi’(-m^2)=0$，因此定出$c_1,c_2$

$$\left\{\begin{aligned} &\sqrt3\pi m^2+c_1-c_2m^2=0\\ &\sqrt3\pi-3+c_2=0 \end{aligned}\right.$$

所以令$\alpha=g^2/(4\pi)^3$

$$\Pi(k_E^2)=\frac{\alpha}{12}\left[(k_E^2+4m^2)^{3/2}\frac{2\mathrm{arcsinh}\frac{\sqrt{k_E^2}}{2m}}{\sqrt{k_E^2}} +(3-2\sqrt3\pi)m^2+(3-\sqrt3\pi)k_E^2\right]$$

变换回闵氏空间

根据(4)，$k^2\gg m^2$时

$$\frac{\Pi(k^2)}{k^2+m^2}\approx\frac\alpha{12}\left[\ln\frac{k^2}{m^2}+c_2\right]$$

当$-k^2\gg m^2$时

$$\frac{\Pi(k^2)}{k^2+m^2}\approx\frac\alpha{12}\left[-i\pi+\ln\frac{|k^2|}{m^2}+c_2\right]$$

由Dyson方程可得

$$\mathbf\Delta(k)=\left[1-\Delta(k)\Pi(k^2)\right]^{-1}\Delta(k)=\frac{1}{\left[1-\frac{\Pi(k^2)}{k^2+m^2}\right]\left(k^2+m^2-i\epsilon\right)}$$

因此在$k^2\gg m^2$时

$$\mathbf\Delta(k)\approx\frac1{k^2+m^2-i\epsilon}\underline{\left(1+\frac\alpha{12}\ln\frac{k^2}{m^2}\right)}\approx\frac{1}{k^2}\underline{\left(\frac{k^2}{m^2}\right)^{\alpha/12}}$$

其他例子

见单圈修正