单圈修正

本文使用一种正规化方案来计算六维时空$\varphi^3$理论的单圈修正理论，进而计算两粒子散射情况。

最后在四维时空中直接给出结论。

文中默认程序为：Wick转动、变量替换、解析延拓。因此不再额外提及。

自能$\Pi(k^2)$

$$\Pi(k^2)=\frac{g^2}2\int\frac{\mathrm d^4l}{(2\pi)^4}\frac1{[l^2+m^2][(l+k)^2+m^2]}$$

Feynman参数化

$$\begin{aligned}\Pi(k^2) =&\frac{g^2}2\int\frac{\mathrm d^6l}{(2\pi)^6}\int_0^1\frac{\mathrm dx}{\left\{(1-x)(l^2+m^2)+x[(l+k)^2+m^2]\right\}^2}\\ =&\frac{g^2}2\int\frac{\mathrm d^6l}{(2\pi)^6}\int_0^1\frac{\mathrm dx}{\left\{(l+xk)^2+x(1-x)k^2+m^2\right\}^2}\\ =&\frac{g^2}{2(2\pi)^6}\int_0^1\mathrm dx\int\frac{\mathrm d^6l}{\left\{l^2+x(1-x)k^2+m^2\right\}^2}\\ =&\frac{g^2}{2(2\pi)^6}\int_0^1\mathrm dx\int_0^\infty\frac{\pi^3l^5\mathrm dl}{\left\{l^2+x(1-x)k^2+m^2\right\}^2}\\ =&\frac{g^2}{128\pi^3}\int_0^1\mathrm dx\int_0^\infty\frac{l^5\mathrm dl}{\left\{l^2+x(1-x)k^2+m^2\right\}^2}\\ \end{aligned}$$

定义

$$D=x(1-x)k^2+m^2\tag{D.1}$$

将对$l$的积分分为两段，分割点$Q$取得尽可能大，使得较大那段被积函数可展开为$l-2D/l+o(l^{-3})$，因此

$$\begin{aligned}\Pi(k^2) =&\frac{g^2}{128\pi^3}\int_0^1\mathrm dx\left[ \frac{Q^2}2+\frac{DQ^2}{2(D+Q^2)}+D\ln\frac{D}{D+Q^2} +\left(c_1-\frac{Q^2}2+D\ln\frac{Q^2}{c_2}\right)\right]\\ \rightarrow&\frac{g^2}{128\pi^3}\int_0^1\mathrm dx\left[\frac{D}{2}+D\ln\frac{D}{c_2}+c_1\right]\\ =&\frac{g^2}{128\pi^3}\int_0^1\mathrm dx\left[D\ln D+c_3+c_4k^2\right]\\ \end{aligned}$$

把$D$的定义(D.1)代入，并注意到$c_3,c_4$为待定常数，所以

$$\Pi(k^2)=\frac{g^2}{128\pi^3}\left[m^2\frac{(k^2/m^2+4)^{3/2}}{3\sqrt{k^2/m^2}}\mathrm{arcsinh}\sqrt{\frac{k^2}{4m^2}}+C_1+C_2\frac{k^2}{m^2}\right]$$

定义参数$\alpha=\frac{g^2}{(4\pi)^3}$

$$\Pi(-m^2)=\frac{\alpha}{2}\left[m^2\sqrt3\frac\pi6+C_1-C_2\right]=0$$ $$\Pi'(-m^2)=\frac{\alpha}{2m^2}\left[m^2\frac{\sqrt3}2\frac\pi6+m^2\sqrt3\left(-\frac1{2\sqrt3}+\frac\pi{12}\right)+C_2\right]=0$$

所以

$$\Pi(k^2)=\frac{\alpha}{2}\left[\frac{(k^2+4m^2)^{3/2}}{3\sqrt{k^2}}\mathrm{arcsinh}\sqrt{\frac{k^2}{4m^2}}+\left(\frac12-\frac{\sqrt3\pi}3\right)m^2+\left(\frac12-\frac{\sqrt3\pi}{6}\right)k^2\right]$$

整理得

$$\Pi(k^2)=\frac{\alpha}{12}\left[(k^2+4m^2)^{3/2}\frac{2\mathrm{arcsinh}\sqrt{\frac{k^2}{4m^2}}}{3\sqrt{k^2}}+\left(3-2\sqrt3\pi\right)m^2+\left(3-\sqrt3\pi\right)k^2\right]\tag{1}$$

顶点函数$V_3(k_1,k_2,k_3)$

$$V_3(k_1,k_2,k_3)=g+g^3\int\frac{\mathrm d^6l}{(2\pi)^6}\frac{1}{[l^2+m^2][(l+k_2)^2+m^2][(l-k_1)^2+m^2]}$$

计算第二项

$$\begin{aligned} &2g^3\int\frac{\mathrm d^6l}{(2\pi)^6}\int_0^1\mathrm dx_2\int_0^{1-x_2}\frac{\mathrm dx_2}{\left\{ x_2[(l-k_1)^2+m^2]+x_1[(l+k_2)^2+m^2]+(1-x_2-x_1)(l^2+m^2)\right\}^3}\\ =&2g^3\int\frac{\mathrm d^6l}{(2\pi)^6}\int_0^1\mathrm dx_2\int_0^{1-x_2}\frac{\mathrm dx_1}{\left\{ (l-x_2k_1+x_1k_2)^2+x_2(1-x_2)k_1^2+x_1(1-x_1)k_2^2+2x_2x_1k_1k_2+m^2\right\}^3}\\ =&2\alpha\int_0^1\mathrm dx_2\int_0^{1-x_2}\mathrm dx_1\int_0^\infty\frac{l^5\mathrm dl}{\left\{ l^2+x_2(1-x_2)k_1^2+x_1(1-x_1)k_2^2+2x_2x_1k_1k_2+m^2\right\}^3}\\ \end{aligned}$$

同样处理发散项，最内层积分为

$$-\frac{(2D+3Q^2)Q^4}{4(D+Q^2)^2}+\frac12\ln\frac{D+Q^2}D+c_1-\ln Q\rightarrow\frac12\left[C-\ln D\right]$$

其中

$$\begin{aligned}D =&x_2(1-x_2)k_1^2+x_1(1-x_1)k_2^2+2x_2x_1k_1k_2+m^2\\ =&x_2(1-x_2)k_1^2+x_1(1-x_1)k_2^2+x_2x_1(k_3^2-k_1^2-k_2^2)+m^2\\ =&x_2x_3k_1^2+x_3x_1k_2^2+x_1x_2k_3^2+m^2\\ \end{aligned}\tag{D.2}$$

对三个指标对称。最终得到

$$V_3(k_1,k_2,k_3)=g+\frac\alpha2\int\mathrm dF_3\left[C-\ln D\right]$$

再取$V_3(0,0,0)=g$得

$$V_3(k_1,k_2,k_3)=g\left[1-\frac\alpha2\int\mathrm dF_3\ln\frac{D}{m^2}\right]\tag{2}$$

顶点函数$V_4(k_1,k_2,k_3,k_4)$

$$V_4(k_1,k_2,k_3,k_4)=g^4\int\frac{\mathrm d^6l}{(2\pi)^6}\hat\Delta(l)\hat\Delta(l+k_2)\hat\Delta(l+k_2+k_3)\hat\Delta(l-k_1)+(\leftrightarrow)$$

同样做Feynman参数化，这次没有发散的问题了

$$V_4(k_1,k_2,k_3,k_4)=g^2\alpha\int\mathrm dF_4\int_0^\infty\frac{l^5\mathrm dl}{(l^2+D_{1234})^4}=\frac{g^2\alpha}{6D_{1234}}$$

其中

$$D_{1234}=x_1x_4k_1^2+x_2x_4k_2^2+x_2x_3k_3^2+x_1x_3k_4^2+x_1x_2(k_1+k_2)^2+x_3x_4(k_2+k_3)^2+m^2$$

单圈修正

四维时空$\varphi^4$理论