维数正规化

为下学期做准备，用维数正规化讨论一下$\phi^4$理论和QED的单圈修正。

此时采用标度为$(+,-,-,-)$。同样高维球的体积和表面积直接给出

$$V^{(d)}=\frac{\pi^{d/2}}{\Gamma\left(\frac d2+1\right)},\quad S^{(d)}=\frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma\left(\frac d2\right)}$$

$\phi^4$理论

$$\mathcal L=\frac12\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac12m^2\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4$$

自能

$$-i\Sigma(p)=\frac{-i\lambda}2\int\frac{\mathrm d^4q}{(2\pi)^4}\ \frac{i}{q^2-m^2}+\mathcal O(\lambda^2)$$

做Wick转动

$$\Sigma(p)=\frac{\lambda}2\int\frac{\mathrm d^4q_E}{(2\pi)^4}\frac{1}{q^2+m^2}$$

该积分发散，但当维数足够低时收敛

$$\Sigma(p)=\frac\lambda2\int\frac{\mathrm d^dq_E}{(2\pi)^d}\frac1{q^2+m^2}=\frac\lambda2\int_0^\infty\frac{2\pi^{d/2}}{(2\pi)^d\Gamma(d/2)}\frac{q^{d-1}\mathrm dq}{q^2+m^2}$$

当$0<d<2$时积分可以解析计算出来

$$\Sigma(p)=\lambda\frac{\pi^{d/2}}{(2\pi)^d\Gamma(d/2)}\frac{m^{d-2}\pi}{2\sin\frac{\pi d}2}$$

当$d=4-2\epsilon$时

$$\Sigma(p)=-\lambda\frac{\pi^{\epsilon-1}m^{2-2\epsilon}}{2^{5-2\epsilon}\Gamma(2-\epsilon)\sin\pi\epsilon} =-\lambda\frac{m^2(1+\ln(4\pi/m^2)\epsilon+\mathcal O(\epsilon^2))}{32\pi^2\epsilon\left[1-(1-\gamma_E)\epsilon+\mathcal O(\epsilon^2)\right]}$$

因此

$$\Sigma(p)=-\lambda\frac{m^2}{32\pi^2}\left[\frac1\epsilon+1-\gamma_E+\ln 4\pi-\ln m^2+\mathcal O(\epsilon)\right]$$

所以$MS$方案下

$$\Sigma(p)=-\lambda\frac{m^2}{32\pi^2}\left[1-\gamma_E+\ln4\pi-\ln m^2\right]$$

$\overline{MS}$条件下把$(1/\epsilon+\ln4\pi-\gamma_E)$一同减除，则

$$\Sigma(p)=\lambda\frac{m^2}{32\pi^2}\ln\frac{m^2}{e}$$

on-shell 条件$\Sigma(p)|_{p^2=m^2}=0$下$\Sigma(p)=\mathcal O(\lambda^2)$

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以$s$道为例

$$\Gamma(s)=(-i\lambda)^2\int\frac{\mathrm d^4q}{(2\pi)^4}\frac{i}{q^2-m^2}\frac{i}{(q+p_1+p_2)^2-m^2}$$

Feynman参数化得

$$\Gamma(s)=\lambda^2\int_0^1\mathrm dx\int\frac{\mathrm d^4q}{(2\pi)^4}\frac{1}{[(q+x(p_1+p_2))^2+x(1-x)s-m^2]^2}$$

依次做Wick转动、维数正规化、平移

$$\Gamma(s)=-i\lambda^2\int_0^1\mathrm dx\int\frac{\mathrm d^dq_E}{(2\pi)^d}\frac1{(q^2+D)^2}$$

QED

光子自能

电子自能

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