重整化群-凝聚态

重整化群说白了就是标度变换下物理规律不变。

一维Ising模型

精确解

哈密顿量为

$$H=-\mu B\sum_i\sigma_i-J\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_i\sigma_j\tag{1.1}$$

配分函数为

$$Z=\sum_{\{\sigma_i\}}\exp[\beta\mu B\sum_i\sigma_i+\beta J\sum_i\sigma_i\sigma_{i+1}]\tag{1.2}$$

或者写为

$$Z=\sum_{\{\sigma_i\}}\prod_i\exp\left[K_0+K_1\sigma_i\sigma_{i+1}+K_2\frac{\sigma_i+\sigma_{i+1}}2\right]\tag{1.3}$$

其中

$$K_0=0,K_1=\beta J,K_2=\beta\mu B\tag{1.4}$$

定义矩阵

$$\langle\sigma|T|\sigma'\rangle=\exp\left[K_0+K_1\sigma\sigma'+K_2\frac{\sigma+\sigma'}2\right]$$

则

$$Z=tr\left(T^N\right)=\lambda_+^N+\lambda_-^N\tag{1.5}$$

其中$\lambda_\pm$为$T$的本征值

$$(\lambda-e^{K_0+K_1+K_2})(\lambda-e^{K_0+K_1-K_2})=e^{2(K_0-K_1)}\Leftrightarrow \lambda^2-2\lambda e^{K_0+K_1}\cosh K_2+2e^{2K_0}\sinh K_1=0$$

解得

$$\lambda_\pm=e^{\beta J}\cosh\beta\mu B\pm\sqrt{e^{2\beta J}\cosh^2\beta\mu B-2\sinh \beta J}$$

热力学极限下

$$\ln Z=N\ln \lambda_+=\frac{NJ}{k_BT}+N\ln\left(\cosh\frac{\mu B}{k_BT}\pm\sqrt{\cosh^2\frac{\mu B}{k_BT}-\frac{e^{J/k_BT}-e^{-J/k_BT}}{e^{2J/k_BT}}}\right)$$

重整化群方法

(1.3)重新标记$\sigma_{2n-1}\rightarrow\sigma’_{n}$，则

$$Z=\sum_{\{\sigma,\sigma'\}}\prod_{i=1}^{n/2}\left[\exp\left(K_0+K_1\sigma'_i\sigma_{2i}+K_2\frac{\sigma_i'+\sigma_{2i}}2\right)\cdot\exp\left(K_0+K_1\sigma_{2i}\sigma_{i+1}'+K_2\frac{\sigma_{2i}+\sigma'_{i+1}}2\right)\right]\tag{1.7}$$

将$\sigma$“积掉”（实际上为求和）

$$Z=\sum_{\{\sigma'\}}\prod_{i=1}^{n/2}\left[e^{2K_0+K_2\frac{\sigma'_i+\sigma'_{i+1}}2}2\cosh\left(K_1(\sigma_i'+\sigma_{i+1}')+K_2\right)\right]\tag{1.8}$$

我们希望它回到

$$Z=\sum_{\{\sigma'\}}\prod_{i=1}^{n/2}\exp\left[K_0'+K_2'\frac{\sigma_i'+\sigma_{i+1}'}2+K_1'\sigma_i'\sigma_{i+1}'\right]\tag{1.9}$$

这看起来是不可能的，但是注意到$\sigma_i’=\pm1$，所以只要在有限个点相等即可

最简单的想法即将$(++)(+-)(-+)(—)$分别代入。第二和第三个方程完全一致，故只写出一个

$$\left\{\begin{aligned} &e^{2K_0+K_2}2\cosh(2K_1+K_2)=\exp\left[K_0'+K_1'+K_2'\right]\\ &e^{2K_0}2\cosh(K_2)=\exp\left[K_0'-K_1'\right]\\ &e^{2K_0-K_2}2\cosh(-2K_1+K_2)=\exp\left[K_0'+K_1'-K_2'\right] \end{aligned}\right.$$

三个未知数三个方程，可以解出

$$\left\{\begin{aligned} &K_0'=2K_0+\ln 2+\frac14\ln\{\cosh^2(K_2)\cosh(2K_1+K_2)\cosh(2K_1-K_2)\}\\ &K_1'=\frac14\ln\frac{\cosh(2K_1+K_2)\cosh(2K_1-K_2)}{\cosh^2(K_2)}\\ &K_2'=K_2+\frac12\ln\frac{\cosh(2K_1+K_2)}{\cosh(2K_1-K_2)} \end{aligned}\right.$$

• $K_0=0,K_1\sim K_2\approx0$时（即高温极限），$K_0’=\ln 2,K_1’\sim K_2’\approx0$，所以

$$Z=2^{N/2}\times 2^{N/2}=2^N$$

作为验证，再重整化一次$K_0’=3\ln2,Z=8^{N/4}\times 2^{N/4}=2^N$，所以并未发生改变

进而自由能和熵为

$$F=-k_BT\ln Z=-Nk_BT\ln 2,\quad S=-\frac{\partial F}{\partial T}=Nk_B\ln 2$$

定义$f(K_1,K_2)=F/(Nk_BT)$得

$$f(0,0)=-\ln2$$

• $K_2=0$时，即不加外磁场，$K_0’=\ln 2\sqrt{\cosh 2K_1},K_1’=\ln\sqrt{\cosh 2K_1}$，所以配分函数为

$$Z_N(K_1,0)=Z_{N/2}(\ln\sqrt{\cosh 2K_1},0)\times(2\sqrt{\cosh 2K_1})^{N/2}$$

需要注意$Z_N$和$Z_{N/2}$是两个不同的函数。进而自由能$F_N(K_1,K_2)=Nk_BTf(K_1,K_2)=-k_BT\ln Z_N(K_1,K_2)$有

$$Nf(K_1,0)=\frac N2f(\ln\sqrt{\cosh 2K_1},0)-\frac12 Nk_BT\ln 2\sqrt{\cosh 2K_1}$$

即

$$f(K_1,0)=\frac12f(\ln\sqrt{\cosh 2K_1},0)-\frac12\ln2\sqrt{\cosh2K_1}$$

作为函数方程，可以解得

$$f(K_1,0)=-\ln(2\cosh K_1)$$

具体猜出解的过程如下：

令$K_1=0$得$f(0,0)=-\ln2$，假设

• $K_1=0$时，$K_0’=\ln(2\cosh K_2),K_1’=0,K_2’=K_2$

所以

$$Z_N(0,K_2)=Z_{N/2}(0,K_2)(2\cosh K_2)^{N/2}\Rightarrow f(0,K_2)=\frac12f(0,K_2)-\frac12\ln(2\cosh K_2)$$

这个好解多了

$$f(0,K_2)=-\ln(2\cosh K_2)$$

• 一般情况直接给结果

$$f(K_1,K_2)=-\ln\left[e^{K_1}\cosh K_2+\left\{e^{-2K_1}+e^{2K_1}\sinh^2K_2\right\}^{1/2}\right]$$

与之前严格解解$f=\ln\lambda_+$相符