Sakura's Blog

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有限温场论

Posted on 2020-12-17 In QSP

没想到今年进藤先生打算考有限温了。不过也好，反正本来就要学的，只是没人督促就没动力。现在有了官方督促了（手动滑稽

分波法

Posted on 2020-12-15 In AQM

中心势场具有球对称性，所以采用球谐函数为基也许会比较简单，即将本征波函数写为

$\psi_{klm}(\vec x)=R_{kl}(r)Y_{lm}(\theta,\phi)\tag1$

而散射的情形要求

$\psi(\vec x)=e^{i\vec k\cdot\vec x}+\frac{e^{ikr}}{r}f(\theta,\phi)\tag2$

所以分波法的思想为把(2)用(1)展开

Majorana

Posted on 2020-11-27 Edited on 2020-11-28 In QFT

Klein-Gordon场$\rightarrow$Majorana场$\rightarrow$自旋场、电磁场

todo:

为什么对于任意满足$k_\mu k^\mu=-m^2$的4-矢量，根据Lorentz不变性可以得到一个解
验证(3.10)(3.11)

Callan-Symanzik方程

Posted on 2020-11-26 Edited on 2020-11-27 In QFT

费曼图的积分中经常会出现发散，重整化的思想为将发散项根据有限个实验数值或理论假设替代为有限。不同的替代方案从物理上来讲应该是等价的。它们之间由Callan-Symanzik方程相连接。

本文仍然以六维时空的$\varphi^3$理论为例。

单圈修正

Posted on 2020-11-24 In QFT

本文使用一种正规化方案来计算六维时空$\varphi^3$理论的单圈修正理论，进而计算两粒子散射情况。

最后在四维时空中直接给出结论。

文中默认程序为：Wick转动、变量替换、解析延拓。因此不再额外提及。

单圈费曼图

Posted on 2020-11-23 In QSP

在圈近似中，我们会遇到一类由单圈和相互作用组成的图。事实上，写为代数形式为

$\int\frac{\mathrm d^4q}{(2\pi)^4}\left[\Pi_0(q)V(q)\right]^n\tag1$

其中

$\Pi(q)=\frac{2}{i\hbar}\int\frac{\mathrm d^4k}{(2\pi)^4}\ G^0(k)G^0(k+q)\tag2$

本文在费米海的模型下计算(2)

QED单圈重整化

Posted on 2020-11-14 Edited on 2021-01-05 In QFT

这篇将会写比较长时间吧。一来因为计算量确实不小，二来……算了，也不要二来了。

高维球的体积和表面积公式直接给出吧。

$d$	0	1	2	3	4	$\cdots$	$d$
$V^d$	$1$	$2$	$\pi$	$\frac{4\pi}3$	$\frac{\pi^2}4$		$\pi^{d/2}/\Gamma\left(\frac d2+1\right)$
$S^d$	$0$	$2$	$2\pi$	$4\pi$	$2\pi^2$		$2\pi^{d/2}/\Gamma\left(\frac d2\right)$

以及所谓的”积木“

$S(k)=\frac{m-ip\!\!\!\backslash}{p^2+m^2-i\epsilon},\Delta^{\mu\nu}(k)=\frac1{k^2-i\epsilon}\left[g^{\mu\nu}-(1-\xi)\frac{k^\mu k^\nu}{k^2}\right]$

一种正规化方案

Posted on 2020-11-14 Edited on 2020-11-24 In QFT

正规化是用于处理无穷大的一种技术手段，常见的方式有

维数正规化
Pauli-Villars正规化
晶格正规化
$\zeta$函数正规化
Hadamard正规化
点分裂正规化

至今为止，我对正规化一无所知。北京大学檀时钠《量子场论》课上给出一种正规化方案，本文用于重现这种方案。将来可能会将其与正常做法作比较。

零温场论

Posted on 2020-11-13 In QSP

量子统计物理里有太多正负号、虚数单位，不注意的话很容易搞混。为了自洽，尝试归拢为一篇。

顺便，也作为零温场论的复习。约定 $\Phi$ 为无相互作用情形，$\Psi$ 为相互作用情形。

CG系数

Posted on 2020-11-07 Edited on 2020-11-09 In AQM

Clebsch-Gordon(CG)系数是角动量求和$(j_1+j_2=j)$过程中出现的系数，定义为

$\langle j_1m_1j_2m_2|j_1j_2;jm\rangle$

显然，完整的CG系数应当是$(2j_1+1)(2j_2+1)$维的矩阵。