Sakura's Blog

本文可以视为LSZ约化公式的应用。

用flutter发布Android app 一般需要以下步骤（不包括发布到应用商店）

（一维）相干态$|z\rangle$有两个重要特性：

1. 满足最小不确定性$\Delta x\Delta p=\hbar/2$
2. 是湮灭算符的本征值

本文从特性1.出发“猜测”相干态的形式，再证明特性2.以及其他性质。

• [ ] 检验是否还有其它态满足最小不确定性

路径积分的思想为：所有可能的路径都对传播子有贡献，权重为作用量的指数因子。其优势有

1. 能自然地给出编时乘积的期望值
2. 所有量都是纯数/Grassmann数，无需考虑复杂的算符对易关系
3. 只需求导，计算方便代价是最开始的计算复杂
4. 数值计算方便、误差小可能吧，别人说的，我也不知道

在应用到四维时空上时出现了很严重的问题，希望将来能够解决。

• [ ] 在欧氏空间和闵氏空间里分别计算传播子

Gell-Mann Low 定理说的是，在绝热引入相互作用的方法下计算出的本征态就是相互作用系统的本征态。即系统的哈密顿量为

$$\hat H=\hat H_0+\hat H_I=\hat H_0+ge^{-\epsilon|t|}\hat H_1\tag{1}$$

非相互作用部分本征态$|\Phi\rangle$，则若

$$\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{\hat U_\epsilon(0,-\infty;g)|\Phi\rangle}{\langle\Phi|\hat U_\epsilon(0,-\infty;g)|\Phi\rangle}\equiv \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{|\Psi^g(\epsilon)\rangle}{\langle\Phi|\Psi^g(\epsilon)\rangle} =\frac{|\Psi^g\rangle}{\langle\Phi|\Psi^g\rangle}\tag{2}$$

注意到定义了$|\Psi^g(\epsilon)\rangle$，而且并没有说$|\Psi^g(\epsilon)\rangle\xrightarrow{\epsilon\rightarrow0}|\Psi^g\rangle$。那么有

$$\hat H(t=0)\frac{|\Psi^g\rangle}{\langle\Phi|\Psi^g\rangle}=E\frac{|\Psi^g\rangle}{\langle\Phi|\Psi^g\rangle}\tag{3}$$

 LSZ约化公式是属于量子场论中十分重要的公式。它是考虑相互作用以后求解场的演化性质，将散射振幅和关联函数联系起来。

在之前的一篇文章里提到一个积分

$$[\phi(x),\phi(y)]=c_+\int\frac{\mathrm d^4k}{(2\pi)^4}(2\pi)\left[e^{ik\cdot x}\theta(k^0)-e^{ik\cdot x}\theta(-k^0)\right]\delta(k^2+\omega_0^2)$$ $$[\phi(x),\phi(y)]=c_+\mathrm{sign}(x^0-y^0)\left[i\omega_0\theta(\tau^2)\frac{J_1(\omega_0\tau)}{4\pi\tau}-\frac i{2\pi}\delta(\tau^2)\right]$$

本文用于证明此积分。

根据北京大学shindou开设的《量子统计物理》第一次作业第二题整理。

Heisenberg模型是描述铁磁性的最简单的模型。考虑一个$N\times N\times N$，晶格常数为$a$的立方晶体，在每个格点上都有自旋算符$\hat{\vec s}_{\vec j}=(\hat s_{\vec j,x},\hat s_{\vec j,y},\hat s_{\vec j,z})$。哈密顿量为

$$\hat H=-J\sum_{\langle\vec i,\vec j\rangle}\hat{\vec s}_{\vec i}\cdot\hat{\vec s}_{\vec j}$$

其中$\langle\vec i,\vec j\rangle$表示近邻原子，相互作用$J>0$。

Klein-Gordon方程为

$$\left(-\partial^2+\omega_0^2\right)\psi=0\tag{1}$$

在之前的文章中已经给出对易关系

$$[\phi(x),\phi(y)]=c_+\int\frac{\mathrm{d}^3\vec k}{(2\pi)^3}\frac1{2\omega_{\vec k}}\left[e^{-i\omega_{\vec k}t+i\vec k\cdot\vec x}-e^{i\omega_{\vec k}t+i\vec k\cdot\vec x}\right]\tag{2}$$

其中

$$\omega_{\vec k}=\sqrt{\vec k^2+\omega_0^2}\tag{3}$$

我们将在其他地方证明

$$[\phi(x),\phi(y)]=c_+\mathrm{sign}(x^0-y^0)\left[i\omega_0\theta(\tau^2)\frac{J_1(\omega_0\tau)}{4\pi\tau}-\frac i{2\pi}\delta(\tau^2)\right]\tag{4}$$

其中$\tau=\sqrt{-(x-y)^2}$。我们将从此处继续完成Klein-Gordon场的量子化。

记录搭建hexo博客的步骤。

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