Sakura's Blog

标量场是指场变量与参考系无关的场。在参考系变换下

$$\left\{\begin{array}{ll} x\rightarrow\bar x=\Lambda x+a & (\bar x^\mu=\Lambda^\mu_{\ \ \nu} x^\nu+a^\mu)\\ \phi\rightarrow\phi & (\bar\phi(\bar x)=\bar\phi(\bar x(x))=\phi(x)) \end{array}\right.$$

其中$\Lambda$是恰当正时Lorentz变换。假设$a=0$，则

$$\bar\phi(\bar x)=\phi(x)=\phi(\Lambda^{-1}\bar x)$$

根据北京大学shindou开设的《量子统计物理》第一章部分内容整理。

为方便起见，考虑二维膜的小振动，即$\phi(\vec x)=z(x,y)$。拉氏量为

$$L(\phi,\dot\phi)=\frac12\int\mathrm{d}^2\vec x\dot\phi(\vec x)^2-\frac12\int\mathrm{d}^2\vec x\mathrm{d}^2\vec x'K(\vec x-\vec x')\phi(\vec x)\phi(\vec x')$$

相应的广义动量为

$$\Pi(\vec x)=\frac{\delta L}{\delta\dot\phi(\vec x)}=\dot\phi(\vec x)$$

所以可以写出哈密顿量

$$\begin{aligned}&H(\vec \phi,\vec\Pi)=\int\mathrm{d}\vec x\dot\phi(\vec x)\Pi(\vec x)-L(\phi,\dot\phi(\phi,\Pi))\\ &=\frac12\int\mathrm{d}^2\vec x\Pi(\vec x)^2+\frac12\int\mathrm{d}^2\vec x\mathrm{d}^2\vec x'K(\vec x-\vec x')\phi(\vec x)\phi(\vec x')\end{aligned}\tag{H.0}$$

正则量子化的程序为

$$[\phi(\vec x),\phi(\vec x')]=[\Pi(\vec x),\Pi(\vec x')]=0\\ [\phi(\vec x),\Pi(\vec x')]=i\hbar\delta(\vec x-\vec x')\tag{C.0}$$

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